第二十章 问答(2/2)
刘廷波苦笑道：“庞教授，把关我可不敢当，小庞要是真解决了BSD猜想，都可以当我老师了！”
话虽然这样说，刘廷波还是坐在了电脑前，仔细看了起来。
一边看，他一边还时不时就论文中的一些疑问和庞学林做交流。
“小庞，这里假定D无平方因子，简单的初等考量显示D为同余数等价于椭圆曲线E_D: y^2=x^3-D^2x上有某个y \neq 0的有理点。可以证明这样的点不属于T，于是D为同余数又等价于r_D>0。（同余数问题）决定所有同余数D，使得r_D>0。对于给定素数p，(1)p \equiv 3(\mod 8)：p不是同余数但2 p是同余数；(2)p \equiv 5(\mod 8)：p是同余数；(3)p \equiv 7(\mod 8)：p和2 p都是同余数。你使用的工具是Heegner点的高度理论，你是怎么将它和L'(1，E)联系起来的？还有，你是如何确定D均为同余数的？“
庞学林在三体世界的时候便经受住了那些顶尖数学家的狂轰乱炸，对付这种问题应付起来轻松异常，对答如流道：”关于E的Weil-Hasse函数L(s，E)的定义，一个经典结果是a_p有Hasse上界2\sqrt{p}，这推出L(s，E)对\mathrm{Re}\， s>\frac{3}{2}收敛。然后我们根据Gross-Zagier公式，就可以将其与L'(1，E)联系起来。另外，BSD猜想对E_D成立。特别的，r_D>0当且仅当L(1，E_D)=0。假定弱BSD猜想成立，则(1)理论上我们能够判定D是否为同余数；(2)Tunnell定理给出在有限步内决定D是否为同余数的算法；(3)可以证明D \equiv 5，6，7(\mod 8)时r_D为奇数，故这样的D均为同余数。“
刘廷波思索了片刻，满意地点了点头，过了一会儿，他又问道：“你这里说，L(s，E)在s=1处展开的泰勒系数和E的Tate-Shafarevich群的阶数成正比，你是怎么得出这样的结论的？还有这里，E(Q)(Mordell-Weil群)有自然的交换群结构，你前面根据Mordell定理进一步断言E(Q)是有限生成的：E(Q)=\Bbb Z^r \oplus T，此处挠群T是某个有限Abel群，r称为E的秩。我们对T的了解是完全的：Mazur决定了所有15种可能的T。那么R呢？你这里是不是缺少了对R的有效刻画？“
庞学林道：“基于Eichler， Shimura在模椭圆曲线方面的工作以及新近证明的Taniyama–Shimura猜想(模定理)，现在知道L(s，E)可解析延拓到整个复平面并且相应的Riemann猜想成立。BSD猜想在R等于L(s，E)在s=1处零点的阶数m。在模定理已获证明的情况下，已知BSD猜想对m=0.1成立，故L(s，E)在s=1处展开的泰勒系数和E的Tate-Shafarevich群的阶数成正比，更进一步的话，又可以推出Tate-Shafarevich群的有限性。”
刘廷波沉吟了半晌，竖起大拇指道：“你从同余数问题上间接证明了BSD的弱猜想，再由此扩展成广义BSD猜想，这种办法真是绝了！”
……
接着，刘廷波与庞学林一问一答，几乎每一个问题，庞学林都能不假思索地给出答案。
时间一分一秒过去，就连王秀芳做好了晚饭，上来想要叫他们吃饭，也被庞学林与刘廷波之间的问答所吸引，看了半天后，王秀芳悄悄地退出了书房，不去打搅他们。
一直到晚上十点，刘廷波才彻底将这篇论文彻底审阅完毕，两人之间的问答也随之结束。
一旁的庞绍安和姚建中虽然跟不上两人的思路，但情绪也始终处于亢奋状态。
他们看得出来，在这一问一答中，一个世界级的难题，正在从庞学林手中徐徐解开。
这种亲眼见证一个世界级数学难题慢慢展露真颜的过程，让在场的所有人都兴奋不已。
庞绍安看着刘廷波道：“小刘，小林的证明怎么样，你觉得他成功了吗？”
刘廷波道：“庞教授，我不敢说小庞百分之百证明了BSD猜想，对这篇论文，我有八九成把握。小庞，你看这样如何，你这篇论文才上传arXiv不久，我们等过一段时间，等德利涅、法尔廷斯这些大佬相继表态，我再给你在江大安排一场学术报告会，到时候应该能吸引到全世界顶级数学家与会。这段时间，你暂时不用上课了，安心为报告会做准备，PPT最好做得详细一点。“
庞学林笑道：“刘院长，上课倒没什么问题，反正距离正式开课还有几天时间，我每周也就一、三、五有课，给本科生上课，对我而言反而是一种放松。”
刘廷波想了想道：“行，那我就不勉强你了，哈哈，小庞这次多谢你了，刚回母校，就给母校先上了这样一份大礼。”